Введение

В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электронной цепи, т.е. четырёхполюсники.

На практике четырёхполюсники и цепи, которые целесообразно представлять состоящими из нескольких четырёхполюсников, применяются, прежде всего, для передачи и преобразования электрических сигналов, несущих информацию. Тракт передачи информации, или канал связи, как правило, состоит из ряда четырёхполюсников, включённых между генератором (передатчиком) сигналов и приёмником сигналов. В тракт передачи обычно входят: линия связи генератора и приёмника, находящихся часто на значительных расстояниях один от другого; усилители, в которых увеличивается мощность; аттенюаторы (ослабители) для снижения уровня сигналов; фильтры для разделения сигналов; корректирующие контуры, включаемые для устранения искажений сигналов; трансформаторы, при помощи которых изменяются сопротивления отдельных участков тракта передачи информации, и устраняется гальваническая связь между этими участками.

Таким образом, теория четырёхполюсников даёт возможность единым методом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей цепи.

1. Основные уравнения четырёхполюсника

четырехполюсник электрический расчет

Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных режима. Трансформатор, линию передачи энергий, мостовую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсник.

Рисунок 1 - положительные направления для токов и напряжений в активном четырехполюснике

Принято изображать четырёхполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами) mn и pq (рисунок 1). Если четырёхполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутствует, то это значит, что четырёхполюсник пассивный. Входной ток обозначают, входное напряжение; ток и напряжение на выходе - и.

Четырёхполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам mn, как правило, присоединяется источник питания; к выходным зажимам pq - нагрузка.

Предполагается, что нагрузка четырёхполюсника и напряжение на входе при работе четырёхполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырёхполюсника и сопротивления в ней остаются неизменными.

Для любого пассивного линейного четырёхполюсника напряжение и ток на входе и связаны с напряжением и током на выходе и двумя основными уравнениями:

В этих уравнениях комплексные коэффициенты A, B, C, D зависят от схемы внутренних соединений четырёхполюсника, от значений сопротивлений схемы и от частоты. Для каждого четырёхполюсника их можно определить расчетным или опытным путём. Коэффициенты связаны соотношением:

Форма записи уравнений (1) называют формой А.

Помимо А-формы для расчёта токов и напряжений в четырёхполюснике используются и другие формы записи уравнений. К ним относятся:

Обратим внимание на попарную инверсию Y- и Z-форм, А- и В-форм, Н- и G-форм.

Исторически сложилось так, что для А-формы (её считают основной) положительные направления для токов и напряжений соответствуют рисунку 1, а для Y-, Z-, H-, G-форм - рисунок 2, а, В-форме - рисунок 2,б.

Рисунок 2 - положительные и отрицательные направления токов и напряжений в четырехполюсниках

Четырёхполюсник называют симметричным, если при замене первичных зажимов вторичными токи источника и приёмника не изменяются. Уравнения симметричного четырёхполюсника должны остаться неизменными при взаимной первичных и вторичных зажимов. Поэтому A = D и разметка первичных и вторичных зажимов для симметричного четырёхполюсника не обязательна. Все четырёхполюсники, не удовлетворяющие этому условию, называют несимметричными.

Комплексные коэффициенты при всех формах записи уравнений зависят от величин сопротивлений или проводимостей ветвей четырехполюсника, схемы четырехполюсника, а также от частоты источника питания. Соотношения между коэффициентами четырехполюсника при различной форме записи уравнений даны в таблице 1. В этой таблице определители матриц Z, Y, H и A находятся по формулам:

Таблица 1

Определяемые параметрыИзвестные параметрыYZHAB Y Z

2. Определение коэффициентов четырёхполюсника

Комплексные коэффициенты несимметричного пассивного четырёхполюсника определяют опытным путем или расчётом, причём в последнем случае величины сопротивлений или проводимостей ветвей, составляющих четырёхполюсники, и схема их соединений должны быть известны. Из выражений для коэффициентов А, В, С, D следует, что их значения получаются различного сочетания трёх постоянных величин: Z11 (входного сопротивления со стороны зажимов mn при разомкнутых зажимах pq); Z22 (входного сопротивления со стороны зажимов pq при разомкнутых зажимах mn) и Z12 = Z21 (взаимного сопротивления). Таким образом, для экспериментального определения этих коэффициентов достаточно иметь данные опытов, которые в той или форме определяют комплексные величины Z11, Z22 и Z12 = Z21 или другие комплексные величины, через которые искомые коэффициенты могут быть выражены.

Если одновременно можно измерить как первичные (и), так и вторичные (и) комплексные величины, то для определения коэффициентов А, В, С и D достаточно иметь данных только двух опытов. Проще всего значения этих коэффициентов вычисляются по данным опытов при (режим холостого хода) или (режим короткого замыкания).

При режиме х. х. первичные напряжение и ток определяются из уравнений

и, откуда, .

Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при х.х.

При режиме к.з. на вторичных зажимах

и, откуда, .

Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при к.з. вторичных

Следовательно, измерив величины и фазы, и при х.х., а также, и при к.з., можно определить все коэффициенты четырёхполюсника.

Различные формы записи уравнений четырёхполюсника. Соединение четырёхполюсника

Ту или иную форму записи уравнений применяют, исходя из соображений удобства. Так, в теории синтеза цепей используют обычно Y- или Z-форму записи. Параметры транзисторов для малых переменных составляющих дают в Y-, H- или Z-форме, так как в этих формах их удобнее определить опытным путём.

При нахождении связи между входными и выходными величинами различным образом соединённых четырёхполюсников (при определении коэффициентов эквивалентного четырёхполюсника) используют Z-, H-, G- и А-формы.

Рисунок 3 - виды соединения четырехполюсников

При последовательном соединении четырёхполюсников а и б (рис. 3, а) применяют Z-форму, при параллельном соединении (рис.3, б) - Y-форму, при последовательно-параллельном (рис. 3, в) - Н-форму, при параллельно-последовательном (рис.3, г) - G-форму, при каскадном соединении (рис. 3, д) - А-форму.

Форму записи уравнений выбирают, исходя из удобства получения матрицы составного четырёхполюсника. Так, Z-матрица последовательно соединённых четырёхполюсников равна сумме Z-матриц этих четырёхполюсников, так как напряжение на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равно сумме напряжений на входе (выходе) составляющих его четырёхполюсников, а токи соответственно на входе (выходе) у последовательно соединённых четырёхполюсников одинаковы. матрица параллельно соединённых четырёхполюсников равна сумме их Y-матриц, так как ток на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равен сумме токов на входе (выходе) параллельно соединённых четырёхполюсников, а напряжения на входе (выходе) у них одинаковы.

Аналогично, и в отношении Н-матрицы при параллельно-последовательных соединениях четырёхполюсников. При каскадном соединении ток и напряжение на выходе первого четырёхполюсника равны входному току и напряжению второго четырёхполюсника, поэтому А-матрица двух каскадно соединённых четырёхполюсников а и б равна произведению А-матриц этих четырёхполюсников:

При параллельном, последовательном, параллельно-последовательном и последовательно-параллельном соединениях необходимо соблюдать условие регулярности соединения четырёхполюсников - через оба первичных зажима каждого четырёхполюсника должны течь равные по значению и противоположные по направлению токи; то же и по отношению и к вторичным зажимам.

При регулярном соединении матрица каждого четырёхполюсника должна оставаться такой же, какой она было до соединения четырёхполюсников. Пример нарушения условия регулярности при последовательном соединении показан на рисунке 4,а. Так соединять четырёхполюсники 1 и 2 нельзя, поскольку входные зажимы второго четырёхполюсника оказались накоротко соединёнными с его выходными зажимами.

Регулярное соединение тех же четырёхполюсников показано на рисунке 4,б - перекрещены обе пары концов второго четырёхполюсника (при перекрещивании обеих пар концов все элементы любой матрицы остаются неизменными).

Рисунок 4 - регулярные соединения четырехполюсников

Применение четырёхполюсников

Четырёхполюсники широко применяются в электронике. С их помощью можно преобразовывать ток, напряжение, сдвиг фаз между ними. Между тем в качестве четырёхполюсников можно рассматривать такие приборы как трансформаторы, транзисторы и для них рассчитывать параметры различных форм, чтобы облегчить расчёты схем.

Моделирование

Определить A-параметры трансформатора на рис. 5, а также рассчитать Z-параметры, если R1 = 10 Ом; Х1 = 60 Ом; R2 = 8 Ом; Х2 = 40 Ом; ХМ = 30 Ом.

Рисунок 5 - трансформатор

Основные уравнения для A-параметров:

Определим эти параметры по второму закону Кирхгофа:

Упростим выражение, заменив, получим:

где проведём аналогичную замену, т.е.

Отсюда

Получаем следующие коэффициенты:

Теперь запишем уравнения для Z-параметров:

Подставим найденные значения в уравнения (2):

Рисунок 6 - четырехполюсник

Уравнения для Y-параметров:

Для начала мы преобразуем П-схему четырёхполюсника в эквивалентную ей звезду:

Рисунок 7 - П-схема эквивалентная схеме на рис. 6

Найдем сопротивления эквивалентной цепи:

Для решения задачи воспользуемся режимом короткого замыкания:

Рисунок 8 - режим короткого замыкания

Следовательно, из уравнений (1) получим:

Из схемы видно, что напряжение можно найти по второму закону Кирхгофа:

Ток найдём по первому закону Кирхгофа:

Из этого уравнения выразим ток:

Подставим (3) в (2):

Найдем коэффициент:

Аналогично находим остальные коэффициенты уравнения (1):

Чтобы найти коэффициент произведем режим к.з. в обратную сторону, тогда

Промоделируем данную схему в программе Electronics Workbench.

Проведем опыт короткого замыкания:

Чтобы убедиться в правильности схемы, рассчитаем ток.

Исходные данные:

Рассчитаем полное сопротивление цепи:

Подставим численные значения:

Ток получился приблизительно равный току, который мы получили при моделировании данной схемы.

Заключение

Таким образом, в ходе проведения курсового исследования мы рассмотрели теорию четырёхполюсников, определяли формы записи и постоянные коэффициенты четырёхполюсника, сделали моделирование и проверили расчетным путем его достоверность. Также были решены задачи по нахождению постоянных коэффициентов для различных схем.

Список литературы

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Теория четырёхполюсников/ Л.А. Бессонов.- 6-е изд., перераб. и доп. Учебник для студентов энергетических и электротехнических вузов. М.:Высшая школа, 1973. - 752 с.

.Ионкин П.А. Теоретические основы электротехники. Т. I. Основы теории электрических цепей: теория четырёхполюсников/ П.А. Ионкин, А.И.

.Даревский, Е.С. Кухаркин. Учебник для электротехн. вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1976. - 544 с.

.Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие/ Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди.- 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1980. - 472 с.

.Галас В.П. Моделирование и анализ электрических схем в среде EWB: Практикум для студентов / В.П. Галас. Владим. Гос. ун-т.; Владимир,2003. -52 с.

Базовые уравнения для определения параметров проводимости четырехполюсника:

I 1 = y 11 V 1 + y 12 V 2 ;

I 2 = y 21 V 1 + y 22 V 2 .

Рис. 12.1. Четырехполюсник

На рис. 12.1 представлен четырехполюсник с условными направлениями токов и напряжений. Проводимости в сомножителях, содержащих V 1 , можно вычислить при V 2 =0 из выражений:

Таким образом, у 11 определяется как отношение I 1 к V 1 при V 2 =0, а у 12 - как отношение I 2 к V 1 при V 2 = 0. Аналогично

Эти y -параметры называются параметрами проводимости короткого замыкания четырехполюсника (short-circuit admittance parameters) и могут быть найдены с помощью PSpice. В качестве примера рассмотрим простую цепь, состоящую из резисторов.

На рис. 12.2 показана Т-образная схема, состоящая из трех резисторов. Чтобы найти у 11 и y 21 закоротим выход четырехполюсника (полюсы справа), обеспечив тем самым условие V 2 = 0. На вход четырехполюсника подадим напряжение V 1 =1 В. Входной файл при этом имеет вид:

Input and Transfer Admittances

.PRINT DC I(R1) I(R2); для y11 and y21

Рис. 12.2. Т -образная схема замещения

Обратите внимание, что в команде, описывающей резистор R 2 , узлы записаны в следующем порядке: 0, 2. Тем самым задается направление для тока I 2 , показанное на рис. 12.3. Проведите анализ на PSpice, чтобы найти I 1 и I 2 . В результате вы получите

I(R 1) = 71,43 мА и I(R 2) = -47,62 мА.

Рис. 12.3. Т -образная схема с короткозамкнутым выходом

Поскольку напряжение V 1 выбрано равным 1 В, значение I 1 численно равно проводимости у 11 , а значение I у 21 . Следовательно,

y 11 = 71,43 мс и у 21 = -47,62 мс.

Остальные y-параметры могут быть найдены при подаче со стороны выхода напряжения V 2 =1 В и при V 1 =0. Последнее условие выполняется при коротком замыкании на входе. Входной файл:

Output and Transfer Admittances

.PRINT DC I(R1) I(R2); для y12 and y22 .END

Поскольку напряжение V 2 выбрано равным 1 В, значение I 1 , численно равно проводимости у 12 , а значение I 2 численно равно проводимости у 22 . Проведите анализ и убедитесь, что

у 12 = -47,62 мс и у 22 = 142,9 мс.

Обратите внимание, что у 12 = у 21 и, следовательно, четырехполюсник является симметричным.

Отрицательные знаки для проводимостей у 12 =у 21 не несут в себе какого-либо физического смысла, поскольку y-параметры не отражают свойств физических элементов. Однако легко показать, что П -образная схема на рис. 12.4 эквивалентна четырёхполюснику, описываемому y-параметрами, и поэтому она эквивалентна исходной схеме, заключенной в «черном ящике», какой бы она ни была. В нашем примере

y а = y 21 + y 21 = 23,81 мс;

y b = y 22 + y 12 = 95,28 мс;

y с = -y 12 = 47,62 мс.

При этом реальные проводимости в схеме на рис. 12.4 положительны.

Рис. 12.4. Схема замещения для y -параметров

Если преобразовать y -параметры в z -параметры (для нашего случая в r -параметры), вычислив обратные величины, то получим z a =42 Ом, z b = 10,5 Ом и z c =21 Ом.

Другая схема замещения, содержащая y-параметры, показана на рис. 12.5. В ней используются два зависимых источника тока, управляемых напряжением (ИТУН/VDCS), и она следует непосредственно из исходных уравнений для y-параметров. Вспомним, что команда, предназначенная для введения во входной файл таких источников, должна начинаться с символа G .

Рис. 12.5. Схема замещения для y -параметров на базе зависимого источника

Использование y -параметров для расчета схем

Вызывает затруднения практическое использование y -параметров в типичной ситуации, когда к четырехполюснику, для которого были найдены y- параметры, подключаются неидеальный источник напряжения и резистор нагрузки (рис. 12.6). Уравнения, которые определяют y-параметры, можно непосредственно использовать, когда известны напряжения V 1 , и V 2 , но с их помощью трудно найти напряжение нагрузки V 2 и ток нагрузки I 2 . Анализ показывает, что для рассматриваемого случая справедливо уравнение:

где G s =1/R s и G L =1/R L . Используйте y -параметры из предшествующего примера наряду с V s =10 В, R s = 5 Ом и R 1 =10 Ом, чтобы найти V 2 /V s . Убедитесь, что в результате получится V 2 /V s =0,1496. Проведя анализ на PSpice для схемы рис. 12.7, получите то же значение для отношения V(4)/Vs= 0,1496. Входной файл для этой схемы создайте самостоятельно.

Рис. 12.6. Практическая схема с источником и нагрузкой

Рис. 12.7. Т -образная схема с источником и нагрузкой

Предыдущий пример достаточно просто решить, применяя обычные аналитические методы, но для более сложных схем явными становятся преимущества PSpice. В следующем примере (рис. 12.8) в состав схемы входит зависимый источник тока. Чтобы найти у 11 и у 21 , выход необходимо замкнуть накоротко, но чтобы сделать возможным измерение I2, короткое замыкание осуществляется источником с нулевым напряжением (рис. 12.9). Входной файл:

Input and Transfer Admittances with Dependent Source

.PRINT DC I(R1) I(V0); чтобы найти I1 и I2

Рис. 12.8. Схема с зависимым источником

Рис. 12.9. Схема с короткозамкнутым выходом

Входным током I 1 будет ток через R 1 , а выходным током I 2 - ток через V 0 . Проведите анализ и убедитесь, что

I (R 1) = 125 мА и I (V 0) = 125 мА.

Поскольку входное напряжение равно 1 В, эти токи численно равны соответствующим проводимостям, поэтому

y 11 = 125 мС и у 21 = 125 мС.

Чтобы найти у 11 и у 22 , на выход подключается источник напряжения V 2 , а вход закорачивается источником V 0 с нулевым напряжением, как показано на рис. 12.10. Входной файл:

Output and Transfer Admittances with Dependent Source

.PRINT DC I(R1) I(V2); для определения токов I1 и I2

Рис. 12.10. Схема с короткозамкнутым входом

Проведите анализ и убедитесь, что:

I(R 1) = -62,5 мА и I(V 2) = -187,5 мА,

что дает для проводимостей значения

у 12 = –62,5 мС и у 22 = 187,5 мС.

Обратите внимание, что проводимость у 22 положительна, хотя ток I(V2) отрицателен. Рассмотрите схему, чтобы обнаружить причину этого.

Полные сопротивления в режиме холостого хода

Если в качестве независимых переменных выбрать токи четырехполюсника, можно записать следующие уравнения:

V 1 = z 11 I 1 + z 12 I 2 ;

V 2 = z 21 V 1 + z 22 I 2 ;

из которых следует, что

Чтобы показать, как в этом случае используется PSpice, рассмотрим простую П -образную цепь, приведенную на рис. 12.11. Для определения z 11 и z 12 при разомкнутом выходе (I 2 =0) на вход схемы подключается источник тока I 1 =1 А. Входной файл:

Finding Open-Circuit Impedance Parameters z11 and z21

Рис. 12.11. T-образная схема

Проведя анализ, вы получите следующую запись в выходном файле:

из которой следует, что z 11 = 18 Ом. Выходной файл показывает также V(2)=6 В. Так как входной ток в 1 А численно равен передаточному сопротивлению, z 21 =6 Ом. В выходном файле имеется также запись:

Поскольку входной источник является независимым источником тока, при вычислении выходного сопротивления на PSpice вход схемы считается разомкнутым. Следовательно, z 22 =9 Ом.

Нам осталось найти последний z -параметр: z 12 . Так как наш четырехполюсник симметричен, z 12 =z 21 =6 Ом. В качестве упражнения проверьте значения z 12 и z 22 , подключив источник тока в 1 А к выходу четырехполюсника при разомкнутом входе.

Z -параметры не отражают физических свойств каких-либо элементов схемы замещения. Однако легко показать, что Т -образная схема на рис. 12.12 содержит компоненты, просто выражаемые через z -параметры, и, таким образом эквивалентна первоначальному четырехполюснику. Для рассмотренного нами примера

z a = z 11 – z 12 =12 Ом;

z b = z 22 – z 12 = 3 Ом;

z c = z 12 = 6 Ом.

Рис. 12.12. Эквивалентная схема для z-параметров

Чтобы представить четырехполюсник в z -параметрах, может использоваться другая схема. Она содержит два источника напряжения, управляемых током (рис. 12.13).

Рис. 12.13. Схема замещения для z-параметров на базе зависимого источника

Z -параметры для цепей переменного тока

Z-параметры для схемы переменного тока, подобной показанной на рис. 12.14, могут быть найдены с использованием PSpice. Мы найдем параметры холостого хода для этой схемы при частоте f =500 Гц. Удобно использовать источник тока в 1 А с нулевым фазовым углом на входе схемы. Входной файл:

Find z parameters for ас circuit

Рис. 12.14. Схема на переменном токе

Проведите анализ и убедитесь, что

V(1) = 5,199Е+01; VP(1) = -2,523Е+01; V(2) = -5,600Е+01;

VP(2) = -4,030Е+01,

откуда z 11 =52∠-25,23° Ом и z 21 =56∠-40,30° Ом.

Для нахождения других z -параметров подключим источник тока I 2 в 1 А к выходу четырехполюсника. Входной файл не показан, так как он подобен предыдущему, но вы должны выполнить анализ и убедиться, что в результате получается

V(1) = 5,600Е+01; VP(1) = -4,030Е+01;

V(2) = 7,325Е+01; VP(2) = -3,463Е+01,

откуда z 12 =56∠-40,30° Ом и z 22 =73,25∠-34,63° Ом.

Поскольку используются только линейные элементы, схема симметрична и z 12 =z 21 .

Использование z-параметров для расчета схем

Рис. 12.15. Схема с источником и нагрузкой

Типичная схема имеет неидеальный источник с полным внутренним сопротивлением на входе и полное сопротивление нагрузки, подключенное к выходу (рис. 12.15). Можно показать, что

Некоторые из задач, приведенных в конце этой главы, связаны с использованием этого и подобных уравнений.

Параметры ABCD

Еще одну группу параметров, которая широко используется при анализе силовых устройств, образуют параметры ABCD. Они основаны на уравнениях:

V 1 = AV 2 – BI 2 ;

I 1 = CV 2 – DI 2 .

Знак «минус» используется, чтобы согласовать эти уравнения с уравнениями для других параметров четырехполюсников, в которых ток I 2 направлен к положительному полюсу четырехполюсника, а не нагрузки, как в последнем случае. Из основных уравнений следует, что

Таким образом, мы видим, что параметры А и С получены в режиме холостого хода на выходе четырехполюсника, а параметры В и D - при коротком замыкании выхода.

Линия передачи энергии часто представляется как последовательность Т -образных секций, подобных приведенной на рис. 12.16, где полное сопротивление последовательно включенной цепочки отображается индуктивностью и сопротивлением, а полное сопротивление параллельно подключенной цепочки - сопротивлением и емкостью. Чтобы найти параметры А и С, необходимо подать на вход напряжение 1 В с частотой 60 Гц при разомкнутом выходе. Входной файл:

Circuit to find A and N parameters

.PRINT ас v(3) vp(3) i(R1) ip(R1)

Рис. 12.16. Т-образная секция линии передачи

Элементы R 2 и С 2 не отражены в этом файле, так как цепь, в которую они включены, разомкнута. При этом напряжение V 3 будет равно искомому напряжению V 2 . Проведите анализ, который должен дать

V (3) = 1,113Е+00; VP (3) = -2,750Е+00;

I (R 1) = 1,308Е-03; IP(R 1) = 7,621Е+01.

Вычислив теперь отношение A = V 1 |V 2 с помощью калькулятора, получим А =0,8985∠-2,75°. Параметр С определим из отношения I 1 |V 2 . Его значение равно 1,175∠-78,95° мС.

Параметры В и D найдем, подключив на вход источник напряжения в 1 В при короткозамкнутом выходе. Входной файл для такого опыта:

Circuit to find A and D parameters

.PRINT ac i(R2) ip(R2) i(R1) ip(R1)

Выходной файл дает:

I (R 2) = 5,577E-03; IP (R 2) = 1.005E+01;

I (R 1) = 5,012E-03; IP (R 1) = -7,673E+01.

При коротком замыкании можно найти В и D с помощью калькулятора:

В = -V 1 /I 1 = 179,3∠79,5° Ом;

С = -I 1 /I 2 = 0,8987∠-2,77° Ом.

Как мы видим, А и D равны. Это будет происходить во всех схемах без источников питания, содержащих только линейные элементы. Из базовых уравнений можно непосредственно найти входные напряжение и ток, если известны аналогичные параметры на выходе передающей линии. Задачи, приведенные в конце главы, иллюстрируют этот метод.

Когда же известны условия на входе линии передачи, базовые уравнения полезно решить относительно V 2 и I 2 . При этом получим

Можно показать, что

AD – ВС = 1.

Это дает возможность упростить выражения для выходных параметров

V 2 = DV 1 – BI 1 ;

I 2 = CV 1 - AI 1 .

Гибридные параметры

Когда в качестве независимых переменных выбраны входной ток и выходное напряжение, уравнения четырехполюсника записываются в виде:

V 1 = h 11 I 1 + h 12 V 2 ;

I 2 = h 21 I 1 + h 22 V 2 .

Поскольку в уравнениях используются независимые переменные различного типа (ток и напряжение), соответствующие коэффициенты получили название гибридных параметров. Они уже знакомы нам под именем h -параметров и часто используются, чтобы характеризовать биполярные плоскостные транзисторы (BJT). Хотя такие параметры нетрудно найти для различных цепей постоянного и переменного тока, круг задач, не связанных с биполярными транзисторами, в которых применяются h -параметры очень ограничен. Из базовых уравнений можно получить:

Так как применение h -параметров для анализа биполярных транзисторов подробно описано в главе 3, мы не будем приводить здесь дополнительных примеров. Чтобы установить соответствие использованных ранее индексов с двойными нижними индексами, сравните рис. 12.17 и 3.5.

Рис. 12.17. Схема замещения для h-параметров

Другой набор гибридных параметров

В качестве независимых переменных можно выбрать другой набор разнотипных величин: входное напряжение и выходной ток. Хотя эти параметры по сути являются также гибридными, их так не называют, чтобы не спутать с h -параметрами. Базовые уравнения в этом случае:

I 1 = g 11 V 1 + g 12 I 2 ;

V 2 = g 21 V 1 + g 22 I 2 .

Коэффициенты в этом случае называются g-параметрами, но символ g не означает, что все они имеют размерность проводимости. В цепях постоянного тока только g 11 представляет собой проводимость. Это легко проверить, находя размерности при различных условиях в базовых уравнениях. Общая схема замещения, использующая g-параметры (рис. 12.18), легко может быть получена из этих уравнений. Из них можно также получить:

Рис. 12.18. Схема замещения для g-параметров

Линии передачи

Хотя в PSpice имеется специальное устройство под именем T (для линий передачи), применение его ограничено, поскольку эта модель не учитывает потерь в линии. Мы предпочитаем использовать для линии передачи модель, которая учитывает потери и содержит элементы R, L, G и С.

Длинные линии

Некоторые телефонные линии используют медные кабели диаметром 104 мм, которые состоят из 18 изолированных жил. Измеряемые параметры даны для линии длиной в одну милю:

R = 10,15 Ом;

L = 3,93 мГн;

G = 0,29 мкс;

С = 0,00797мкФ.

Длина линии 200 миль. Рассмотрим, как уменьшаются ток и напряжение при изменении длины линии, если она нагружена на полное сопротивление, равное ее характеристическому сопротивлению Z 0 при угловой частоте со ω=5000 рад/с.

Характеристическое сопротивление определяется как Z 0 =z|у, где z=R +jωL и у =G+jωС. Коэффициент распространения определяется как γ= =α+j β. При данной угловой частоте эти величины равны

Z 0 = 445 Q – 13,45° Ом = (724,567 – j 173,285) Ом,

g = 0,0297 Q – 76,13° = 0,00712 + j 0,0288.

Наш подход к решению будет основан на выделении сегмента линии приемлемой длины, представлении этого сегмента сосредоточенными параметрами и использовании его в качестве подсхемы (subcircuit). Поскольку длина линии составляет 200 миль, выберем сегмент длиной 20 миль в качестве подсхемы с Т -образной структурой и сосредоточенными параметрами. Приведенные выше значения для для R , L , G и С на одну милю должны быть умножены на 20, и половина полученных в результате значений для R и L будет использована в качестве параметра для каждой половины Т-образной схемы. Результаты показаны на рис. 12.19 и включены в подсхему. Проверьте элементы, показанные в подсхеме TLINE.

Рис. 12.19. Секция длинной телефонной линии

На вход линии подано от источника напряжение в 1 В. Небольшие резисторы датчиков тока включены между сегментами линии. Это позволяет измерить напряжения и токи в этих точках. Линия нагружена на полное сопротивление Z 0 , емкостная составляющая которого равна -173,285 Ом, что на данной частоте соответствует емкости в 1,154 мкФ. Обозначения узлов представлены на рис. 12.20. Входной файл:

.PRINT AC I(R1) I(R2) I(R3) I(R4) I(R5) I(R6) I(R7) I(R8) I(R9)

.PRINT AC V (2) V(4) V(6) V(8) V(10) V(12) V(14) V(16) V(18) V(20)

.PRINT AC VP(2) VP(4) VP(6) VP(8) VP(10) VP(12) VP(14) VP(16) +VP(18) VP(20) VP(21)

Рис. 12.20. Телефонная линия из 10 Т-образных секций, каждая из которых соответствует участку в 20 миль

Проведите анализ и по результатам, полученным из выходного файла, убедитесь, что ток на входе линии равен 1,392 мА, ток на выходе 0,3104 мА, а напряжение на выхода 0,2312 В. Получите график зависимости тока и напряжения от текущей координаты точки в линии передачи. Экспоненциальный спад этих величин будет очевиден.

Вы можете также наблюдать сдвиг фазы, который происходит с увеличением текущей координаты точки. Просто проведите анализ и выведите на печать IP(R1), IP(R2) и т. д. Или распечатайте VP(2), VP(4) и так далее. Убедитесь, что VP(4)=-33,3°. Это соответствует сдвигу фазы сегмента линии длиной 20 миль, что дает 1,665° на милю. Переведя относительный сдвиг фазы в радианы на милю, мы получим величину, близкую к β=0,0288 рад/миля. На рис. 12.21 показан выходной файл, в котором приведены значения токов, напряжений и фазовых углов напряжений.

**** 07/31/99 11:20:46 *********** Evaluation PSpice (Nov 1998) **************

Transmission-Line Representation

.PRINT AC I (R1) I(R2) I(R3) I(R4) I(R5) I(R6) I(R7) I(R8) I(R9) I(R10) I(RL)

.PRINT AC V(2) V(4) V(6) V(8) V(10) V(12) V(14) V(16) V(18)V(20) V(21)

.PRINT AC VP(2) VP(4) VP(6) VP(8) VP(10) VP(12) V(14) VP(16) VP(18) VP(20) VP(21)

FREQ I(R1) I(R2) I(R3) I(R4) I(R4)

7.956E+02 1.392E-03 1.202E-03 1.0301-03 8.953E-04 7.693E-04

FREQ I(R6) I(R7) I(R8) I(R9) I(R10)

7.958E+02 6.608E-04 5.709E-04 4.967Е-04 4.300E-04 3.678E-04

FREQ V(2) V(4) V(6) V(8) V(10)

7.958Е+02 1.000E+00 8.613E-01 7.412E-01 6.390E-01 5.528E-01

FREQ V(12) V(14) V(16) V(18) V(20)

7.958E+02 4.784E-01 4.117Е-01 3.518E-01 3.015E-01 2.626E-01

FREQ VP(2) VP(4) VP(6) VP(8) VP(10)

7.958E+02 -1.676E-04 -3.330E+01 -6.671E+01 -1.002E+02 -1.337E+02

FREQ VP(12) VP(14) VP(16) VP(18) VP(20)

7.953E+02 -1.669Е+02 1.601E+02 1.268E+02 9.283E+01 5.873E+01

Рис. 12.21. Выходной файл с результатами анализа схемы на рис. 12.20

Фильтры с постоянным коэффициентом k

Фильтр с постоянным коэффициентом k (фильтры типа k ) в идеале должен быть составлен из чисто реактивных сопротивлений. В самой простой форме он мог бы представлять собой низко- или высокочастотный фильтр. Т -образная секция низкочастотного фильтра показана на рис. 12.22. Параметры элементов, выбранные для этого примера: L =0,04 Гн и С =0,1 мкФ. Такой фильтр обычно нагружен на полное выходное сопротивление, равное характеристическому:

где Z 1 = jωL и Z 2 = 1/(jωС ).

Рис. 12.22. Низкочастотный фильтр с постоянным k

При частоте f =1592 Гц сопротивление Z 0T = 600 Ом является чисто активным. На рис. 12.22 источник напряжения с внутренним сопротивлением R =0,01 Ом подключен на вход, значение сопротивления нагрузки R L = 600 Ом. В результате анализа на PSpice найдем входные и выходные токи и напряжения. Входной файл:

Constant-k Filter, Pass-Band Frequency of 1592Hz

.PRINT AC I(R) V(2) V(3) V(4) VP(2) VP(4)

Проведите анализ и получите распечатку выходного файла. Интерпретируя результаты, вспомним, что при частоте f =1592 Гц, характеристическое сопротивление является чисто активным. Частота находится в полосе пропускания, где сигнал проходит вообще без ослабления (α=0). Это означает, что входной и выходной токи попросту равны. Убедитесь, что входной ток I(R) и выходной I(RL) составляют по 1,667 мА. Сдвиг фазы для фильтра задается выражением

Рассчитанное по этой формуле значение для сдвига фазы равно 36,88°, что совпадает с результатом, полученным на PSpice (выходной файл также дает VP(4) = 36,88°).

Фильтр нижних частот имеет частоту среза, равную

что для выбранных параметров элементов дает f c =5033 Гц. Для сравнения на рис. 12.23 приведены результаты вычисления полосы пропускания для фильтра с постоянным k, полученные в программе MathCAD.

Рис. 12.23. Расчет фильтра с постоянным k в программе MathCAD

Поведение фильтров с постоянным коэффициентом в полосе подавления

Продолжим рассмотрение примера для фильтра низких частот. При частоте f =6 кГц, находящейся в полосе подавления, сигнал должен быть передан с некоторым ослаблением. Чтобы согласовать нагрузку фильтра, вычислим значение Z 0T при частоте 6 кГц. Оно оказывается равным Z 0T =j 410,47 Ом, что соответствует индуктивности нагрузки L =10,888 мГн.

Рассмотрим теперь реакцию фильтра при f =6 кГц. Изменим входной файл:

Constant-k Filter, Stop-Band; Frequency 6 kHz

Проведите анализ и получите распечатку выходного файла. Убедитесь, что входной ток I(R)=2,436 мА, а выходной I(RL)=0,7187 мА. Фазовый сдвиг β соответствует в выходном файле VP(4)=–180°. Коэффициент распространения равен

Из наших результатов γ=ln(3,3895∠180°). Значение α находится как десятичный логарифм от модуля γ и равно α=1,22 Нп (непер). Формула для определения α:

Полученное расчетное значение α=1,22 Нп соответствует результату, полученному в PSpice. Непер - основная единица ослабления, соответствующая отношению входного тока к выходному в 2,71728. Проведя соответствующие преобразования, можно получить 1 Нп = 8,686 дБ. На рис. 12.24 показан выходной файл для полосы пропускания и полосы подавления. MathCAD вычисления для полосы подавления даны на рис. 12.25.

**** 07/31/99 12:13:52 *********** Evaluation PSpice (Mov 1998) **************

Constant-k Filter, Pass-Band Frequency of 1592 Hz

.PRINT AC I(R) I(RL) I(C) V(2) V(3) V(4) VP(2) VP(4)

**** AC ANALYSIS TEMPERATURE = 27.000 DEG С

FREQ I(R) I(RL) I(C) V(2) V(3)

1.592E+03 1.667E-03 1.667E-03 1.054E-03 1.000E+00 1.054E+00

1.592E+03 1.000E+00 -2.884E-08 -3.688E+01

**** 07/31/99 12:20:00 *********** Evaluation PSpice (Nov 1998) **************

Constant-k Filter, Stop-Band Frequency of 6000 Hz

.PRINT AC I(R) I(LL) I(C) V(2) V(3) V(4) VP(2) VP(4)

**** AC ANALYSIS TEMPERATURE = 27.000 DEG С

FREQ I(R) I(LL) I(C) V(2) V(3)

6.000Е+03 2.436E-03 7.187E-04 3.155E-03 1.000E+00 8.369E-01

6.000E+03 2.950E-01 1.396E-03 -1.800E+02

Рис. 12.24. Выходной файл для полосы пропускания и полосы подавления

Рис. 12.25. Вычисления в MathCAD для полосы подавления

Линии передачи без потерь

Фильтр типа k может использоваться также в качестве полезной модели для линии передачи без потерь. На рис. 12.26 показан участок такой линии, включающий L =2 мГн и С=50 нФ. Допустим, что эта модель представляет участок реальной линии, длиной в 1 м. Значения L и С при этом являются удельной индуктивностью линии в мГн/м и удельной емкостью в нФ/м соответственно. Нетрудно определить частоту среза для этой линии равную f c =31,8 кГц. Проведем анализ для частоты f =10 кГц, лежащей в полосе пропускания.

Рис. 12.26. Секция линии передачи без потерь

Чтобы согласовать линию с нагрузкой, необходимо найти Z 0T . Убедитесь, что Z 0T =189,874∠90° Ом. При использовании метода, описанного в предыдущем разделе, можно найти фазовый сдвиг β для участка линии. Убедитесь, что β=36,62°. Так как вычисления проводились для единичного участка линии, удельный фазовый сдвиг равен 36,620°/м. На рис. 12.27 показан результат вычислений для фильтра с постоянным k, проведенных в программе MathCAD. Входной файл для проверки полученных результатов на PSpice имеет вид:

Transmission Line as Lumped Elements

Рис. 12.27. Результаты расчета фильтра с постоянным k в MathCAD

Проведите анализ и получите в Probe графики v(1) и v(3). Распечатайте полученные графики для дальнейшего изучения. Полученное выходное напряжение имеет большую амплитуду, чем входное. Переходя от максимумов напряжения к минимумам, достигаемым при отрицательных значениях, убедитесь, что минимум v(1) достигается в момент 75 мкс, в то время как соответствующий минимум v(3) - в момент 85 мкс. Запишите полученную минимальную величину v(3), которая равна -1,008 В, для будущего использования. Как можно интерпретировать временной интервал в 10 мкс между двумя колебаниями? Длина волны линии передачи λ=360°/β, что для нашего примера дает 360/36,62=9,83 м. Скорость распространения волны для частоты 10 кГц равна υ=f λ=98,3 км/с.

Между временем и расстоянием в линиях передачи существует, конечно, простая связь. В нашем примере мы заключаем, что линия длиной 98,3 км соответствует временной задержке в 1 с. То есть требуется время в 1 с, чтобы волна прошла вдоль этой линии. Длительность в 1 мкс соответствует расстоянию 0,0983 м. Временной интервал в 10 мкс - интервал времени между волнами v(1) и v(3) - эквивалентен 10×0,0983=0,983 м, что близко к длине рассматриваемого участка линии в 1 м.

Рассматривая более внимательно графики v(1) и v(3), мы обнаружим задержку напряжения v(3) в начале синусоидальной волны примерно на 10 мкс. Если вы дорисуете v(3) как синусоидальную волну, вы увидите, что она пересекает ось при 10 мкс. Программа Probe просто использует подходящую кривую, чтобы продлить график, маскируя таким образом эту деталь. Графики v(1) и v(3) показаны на рис. 12.28.

Рис. 12.28. Входное и выходное напряжения для линии без потерь

Удалите график напряжения и получите график i(R) для участка линии. Убедитесь, что минимум тока составляет -5,3 мА. Величина полного сопротивления нагрузки равна v |i =1,008/0,0053=190,2 Ом (напряжение было получено ранее). Так как ток и напряжение точно совпадают по фазе, 190,2 Ом представляет собой чисто активное сопротивление. Это соответствует значению Z 0T =189,874∠0° Ом.

Графики получены для временного интервала в 100 мкс, чтобы получить полный период синусоиды, но длина линии составляет только 1 м, что соответствует, как мы установили, 10 мкс.

Можно получить еще более убедительный график, удалив предыдущую кривую и получив временную зависимость v(3)/i(R). Как вы увидите, она имеет плоский участок. В режиме курсора выясните, что характеристическое сопротивление Z 0T = 189,9 Ом. Теперь получите на одном графике кривые i(R) и v(3)/190. Что при этом получилось и почему? Графики приведены на рис. 12.29.

Рис. 12.29. Временные диаграммы тока и отношения выходного напряжения к характеристическому сопротивлению

Линии передачи без потерь из нескольких секций

Мы можем расширить анализ линий с постоянным коэффициентом k , моделирующих линии передачи без потерь, включив последовательно любое число участков. Используем, например, пять участков, как показано на рис. 12.30. Включим на вход линии источник с частотой 10 кГц и напряжением 1 В. Между участками включены резистивные датчики для измерения тока и напряжения.

Рис. 12.30. Линия передачи из пяти секций

Входной файл для такой схемы:

Transmission Line with 5 Sections

Проведите анализ и в Probe получите графики v(1), v(3), v(5), v(7), v(9) и v(10). Каждая волна перемещена относительно соседней на временной интервал, который необходим для прохождения одного участка цепи. Графики приведены на рис. 12.31.

Рис. 12.31. Распространение волны по линии передачи

Чтобы провести измерения оставьте, на экране только графики v(1) и v(10). Определите, в какой точке каждая кривая пересекает ось X , переходя к отрицательным значениям. Убедитесь, что для v(1) это происходит при t =50 мкс, а для v(10) при t =100 мкс. Это означает, что общая задержка линии составляет 50 мкс. Хотя графики построены во временном интервале для 200 мкс, длина линии соответствует только 50 мкс, синусоидальные кривые дают ясное представление о прохождении волны по линии передачи.

Входное сопротивление в различных точках линии

Когда линия передачи согласована с нагрузкой, полное входное сопротивление должно быть равно характеристическому сопротивлению линии, из скольких бы участков она ни состояла. Анализ для переменных составляющих позволит легко получить результаты для амплитуд и фаз напряжений и токов. Продолжим исследования предыдущего примера, включив во входной файл анализ переменных составляющих:

.print ac v(10) i(RL) vp(10) ip(RL)

Проведите анализ и рассмотрите выходной файл. На выходе линии V(10)=1 В и I(RL)=5,267 мА. Угол сдвига между этими двумя синусоидами составляет 176,9. Это дает для полного сопротивления Z=189,86∠0°, что соответствует характеристическому сопротивлению. Полное входное сопротивление для следующего разделе найдем из V(9)=1 В и I(R4)=5,267 мА, VP(9)=–146,5° и IP(R4)=-146,5°. Величины напряжения и тока не отличаются от предыдущих, они по-прежнему находятся в фазе, полное сопротивление снова равно характеристическому сопротивлению. Обратите внимание, что на смежных участках линии значения напряжений и токов остаются прежними, но сдвигаются на угол 36,6°. Выходной файл приведен на рис. 12.32.

**** 08/02/99 11:59:12 *********** Evaluation PSpice (Nov 1998) **************

Transmission Line with 5 Sections Modified

.print ac v(1) i(RL) vp(10) ip(RL)

.print ac v(9) i(R4) vp(9) ip(R4)

.print ac v(7) i(R3) vp(7) ip(R3)

.print ac v(5) i(R2) vp(5) ip(R2)

.print ac v(3) i(R1) vp(3) ip(R1)

**** AC ANALYSIS TEMPERATURE = 27.000 DEG С

FREQ V(10) I(RL) VP(10) IP(RL)

1.000E+04 1.000E+00 5.267E-03 1.769E+02 1.769E+02

1.000E+04 1.000E+00 5.267E-03 -1.465E+02 -1.465E+02

1.000E+04 1.000E+00 5.267E-03 -1.099E+02 -1.099E+02

1.000E+04 1.000E+00 5.267E-03 -7.324E+01 -7.324E+01

1.000E+04 1.000E+00 5.267E-03 -3.662E+01 -3.662E+01

Рис. 12.32. Выходной файл с результатами анализа схемы на рис. 12.30

Результаты ясно указывают на плоскую линию (без отражения), в которой не возникают стоячие волны. Это типично для линий, на выходе которых включено сопротивление, равное их характеристическому сопротивлению.

Полосовой фильтр

Рис. 12.33. Полосовой фильтр

Более сложный пассивный фильтр показан на рис. 12.33. И последовательные, и параллельные элементы содержат емкость и индуктивность. Формулы для элементов приведены в книге Ware and Reed, Communication Circuits на с. 166 и показаны здесь для справки:

Полоса пропускания лежит между частотами f" 0 и f"" 0 . Фильтр должен быть рассчитан на 600 Ом, чтобы полоса пропускания лежала в диапазоне от 1 до 2 кГц. Входной файл для этого случая:

Band-pass Filter Using Passive Elements

Получите в Probe частотную характеристику, приведенную на рис. 12.34. Поскольку ослабление за границами области пропускания очень велико, измените границы по оси Y, установив их от -50 до 10. Отметим, что вблизи центра области пропускания почти не наблюдается снижения кривой и вследствие резонансного характера цепи характеристика резко снижается сразу за границами области пропускания. В качестве упражнения найдите усиление для каждого из максимумов. Убедитесь, что для первого максимума оно составляет 3,62 дБ, а для второго - 3,72 дБ. Найдите также ослабление при f =2,4 кГц.

Рис. 12.34. График Боде для полосового фильтра

Реальные элементы, в особенности катушки индуктивности, обладают некоторым активным сопротивлением. В задачах, приведенных в конце главы, это обстоятельство учитывается.

Заградительный фильтр

Рис. 12.35. Заградительный фильтр

Если в Т -образной секции, исследованной в предыдущем разделе, использовать параллельно соединенные катушку индуктивности и конденсатор (параллельный колебательный контур) в последовательных ветвях и последовательный колебательный контур в параллельной ветви (рис. 12.35), то мы получим заградительный фильтр. При расчете снова используются формулы из Ware and Reed, Communication Circuit для полосы заграждения от 2 до 3 кГц. Уравнения имеют вид:

Полоса подавления лежит между частотами f" 0 и f"" 0 . Параметры элементов приведены на рис. 12.35, входной файл:

Band-Elimination Filter Using Passive Elements

В Probe получите график отношения выходного напряжения к входному в децибелах (график Боде). Измените диапазоны по осям Х и Y , как показано на рис. 12.36. Убедитесь, что максимальное ослабление происходит в полосе подавления при f =2,4 кГц, где ослабление достигает 66,23 дБ.

Рис. 12.36. График Боде для заградительного фильтра

Задачи

12.1. С помощью PSpice найдите y -параметры схемы, показанной на рис. 12.37. В этой и других задачах, спланируйте вашу работу так, чтобы проводить как можно меньше вычислений на бумаге.

Рис. 12.37.

12.2. На вход четырехполюсника (рис. 12.37) включен источник с внутренним сопротивлением R s =50 Ом, на выход - резистор нагрузки R L =200 Ом. Используйте y -параметры, найденные в задаче 12.1, чтобы найти функцию передачи V 2 |V S .

12.3. С помощью PSpice найдите z -параметры схемы, показанной на рис. 12.37.

12.4. Для рис. 12.6 используйте R s = 50 Ом и R L =200 Ом и z -параметры из задачи 12.3, чтобы найти функцию передачи V 2 |V s . Сравните результаты с ответом задачи 12.2.

12.5. С помощью PSpice найдите y-параметры схемы, показанной на рис. 12.38. Обратите внимание, что схема содержит источник с зависимым напряжением.

Рис. 12.38

12.6. П -образная схема на рис. 12.39 представляет собой модель линии передачи. С помощью PSpice найдите параметры ABCD при частоте f =60 Гц.

Рис. 12.39

12.7. Когда П -образная схема из задачи 12.6 нагружена на Z L =(20+j 20) Ом, выходной ток I L =3,89∠–45° А. Используйте параметры ABCD, чтобы найти напряжение V 1 и ток I 1 на входе схемы.

12.8. При обсуждении длинных линий использовалась Т -образная схема замещения для определения сосредоточенных параметров линии. Альтернативная П -образная схема замещения показана на рис. 12.40. Воспользуйтесь значениями параметров, приведенных в тексте, создайте подсхему для длинной линии, состоящей из 20 П -образных звеньев. Измените входной файл и проведите анализ. Сравните результаты с полученными при Т -образной схеме замещения.

Рис. 12.40

12.9. Высокочастотный фильтр с постоянным коэффициентом к имеет частоту среза f 0 =1 кГц и полное сопротивление Z 0 =600 Ом (чисто активное сопротивление) при бесконечной частоте. Элементы фильтра показаны на рис. 12.41, С= 0,1326 мкФ и L =47,7 мГн. Проведите анализ, аналогичный приведенному в тексте при а) f =2 кГц и б) f =500 Гц.

Рис. 12.41

12.10. При обсуждении линии передачи без потерь использовалась Т -образная схема замещения. Альтернативная П -образная схема приведена на рис. 12.42. Чтобы найти характеристическое сопротивление этой схемы, можно использовать уравнение:

Рис. 12.42

Выполните пример, приведенный в тексте, используя П -образную схему замещения для линии передачи без потерь.

Примечания:

Входное сопротивление относительно I1 = 18 Ом

Выходное сопротивление относительно V(2) = 9 Ом

Фильтрами с постоянным коэффициентом k , или фильтрами типа k , называются устройства, у которых в продольную и поперечные ветви включены взаимно-обратные двухполюсники. При этом произведение сопротивлений Z 1 ·Z 2 =k ² является постоянной величиной на любых частотах, следовательно, постоянен и коэффициент k , имеющий размерность сопротивления. (Прим. переводчика. )